Question

【题目】已知椭圆的一个焦点为，离心率为.不过原点的直线与椭圆相交于两点，设直线，直线，直线的斜率分别为，且成等比数列.

（1）求的值；

（2）若点在椭圆上，满足的直线是否存在？若存在，求出直线的方程；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】(1);(2)见解析.

【解析】分析：（1）由离心率公式及基本量运算可得，从而得方程；设直线的方程为，由，得，由已知，利用韦达定理带入可得；

（2）假设存在直线满足题设条件，且设，由，得，代入椭圆方程得：，整理得，由韦达定理带入可得，可知直线不存在.

详解：（1）由已知得，则，

故椭圆的方程为；

设直线的方程为，

由，得，

则，

由已知，

则，即，

所以；

（2）假设存在直线满足题设条件，且设，

由，得，

代入椭圆方程得：，

即，

则，即，

则，

所以，

化简得：，而，则，

此时，点中有一点在椭圆的上顶点（或下顶点处），与成等比数列相矛盾，故这样的直线不存在.