Question

【题目】已知定义在R上的函数f（x）满足:对任意都有，且当x>0时，．

（1）求的值，并证明为奇函数；

（2）判断函数的单调性，并证明；

（3）若对任意恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）；证明详见解析（2）是增函数，证明详见解析；（3）.

【解析】

（1）用赋值法，结合奇函数的定义进行求解证明即可；

（2）运用单调性的定义，结合已知进行判断证明即可；

（3）运用函数的单调性和奇函数的性质，结合常变量分离法、换元法、构造函数法进行求解即可.

（1） 令 ，得 ，

所以 ．

证明：令 ，得 ，

所以，

所以为奇函数；

（2）设x2>x1，所以.

由，

因为当x>0时，，所以，

∴是增函数；

（3） 由题知：，

又 是定义在上的增函数，

所以 对任意 恒成立，

所以 ，

所以 ，

令 ，，则 ，

所以 ，

当 时，，

所以 ．