Question

【题目】已知函数， （为自然对数的底数）．

（1）讨论函数的单调性；

（2）当时， 恒成立，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1）见解析（2）

【解析】试题分析：（1）求导后，分类讨论，利用导数的正负可得函数的单调性；

（2）当时， 恒成立转化为恒成立，构造函数求出右边函数的最大值即可.

试题解析：

解：（1）

①若， ， 在上单调递增；

②若，当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增

（2）当时， ，即

令，则

令，则

当时， ， 单调递减；

当时， ， 单调递增

又， ，所以，当时， ，即，

所以单调递减；当时， ，即，

所以单调递增，所以，所以

利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法

（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围.一般地，f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a即可；f(x)≤a恒成立，只需f(x)max≤a即可.

(2)函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值(最值)，然后构建不等式求解.