Question

【题目】如图，正四棱锥的底面边长为，、分别为、的中点.

（1）当时，证明：平面平面；

（2）若平面与底面所成锐二面角为，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）.

【解析】

（1）根据四棱锥是正四棱锥，连接交于点，以为原点，以、、建立空间坐标系.取的中点，用向量法证明，，得到平面，再用面面垂直的判定定理证明；

（2）设，求得平面的一个法向量，取平面的一个法向量，根据平面与底面所成锐二面角为，由，求得，设直线与平面所成的角为，代入公式求解.

（1）连接交于点，建立如图所示空间坐标系.

∵，∴，则，，

，，，，

设是的中点，则，

，，，

∵，，∴，，

，∴平面，

∵平面，∴平面平面；

（2）设，则，，，

则，，

设平面的一个法向量为，则，即，

令，则，，所以，

取平面的一个法向量为，

则，即，解得，∴，

设直线与平面所成的角为，∴，

即直线与平面所成角的正弦值为.