Question

【题目】已知圆，直线， .

（1）求证：对，直线与圆总有两个不同的交点；

（2）求弦的中点的轨迹方程，并说明其轨迹是什么曲线；

（3）是否存在实数，使得原上有四点到直线的距离为？若存在，求出的范围；若不存在，说明理由.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆；（3）或.

【解析】【试题分析】（1）依据题设可以运用圆心与直线的距离或考虑动直线过定点分析判断；（2）借助题设条件运用圆心与弦中点的连线与直线垂直建立方程求解；（3）依据题设借助图形的直观，运用圆心距与直线的位置和数量关系建立不等式：

（1）圆的圆心为，半径为，所以圆心C到直线的距离．

所以直线与圆C相交，即直线与圆总有两个不同的交点；

或：直线的方程可化为，无论m怎么变化，直线过定点，由于，所以点是圆C内一点，故直线与圆总有两个不同的交点．

（2）设中点为，因为直线恒过定点，

当直线的斜率存在时， ，又， ，

所以，化简得．

当直线的斜率不存在时，中点也满足上述方程．

所以M的轨迹方程是，它是一个以为圆心，以为半径的圆．

(3) 假设存在直线，使得圆上有四点到直线的距离为，由于圆心，半径为，则圆心到直线的距离为

化简得，解得或．