Question

【题目】如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形且侧棱垂直于底面，侧棱长是， 是的中点.

（1）求证： 平面；

（2）求二面角的大小；

（3）求直线与平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）；（3）.

【解析】试题分析：

(1)利用题意由即可证得平面.

(2)利用题意找到二面角的平面角为；

(3)利用(2)中的结论找到线面角，计算可得直线与平面所成角的正弦值为.

试题解析：（1）设与相交于点，连接，则为中点，

为中点， .

又平面， 平面

平面.

（2）正三棱柱， 底面.

又， ，

就是二面角的平面角.

， ， .

，即二面角的大小是.

（3）由（2）作， 为垂足.

，平面平面，平面平面，

平面，

平面， .

， 平面，连接，则就是直线与平面所成的角.

， ， 在中， ，

， .

.

直线与平面所成的角的正弦值为.

（备注：也可以建立空间直角坐标系来解答.）