Question

【题目】已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，离心率为，右焦点到右顶点的距离为．

（Ⅰ）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）是否存在与椭圆交于两点的直线：，使得成立？若存在，求出实数的取值范围，若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

试题分析：（Ⅰ）根据椭圆几何条件得，又离心率为得，解方程组得，，

（Ⅱ）先将向量条件坐标化，即由得，

，，

再联立直线方程与椭圆方程，利用韦达定理化简得，

代入判别式大于零表达式化简得或．

试题解析：（1）设椭圆的方程为，半焦距为. 依题意，由右焦点到右顶点的距离为，得．解得，．所以．

所以椭圆的标准方程是．

（2）解：存在直线，使得成立.理由如下：

由得．

，化简得．

设，则，．

若．所以．，

，,

化简得，．将代入中，，

解得，．又由，，

从而，或．

所以实数的取值范围是．