Question

【题目】已知抛物线的焦点为，点为抛物线上一点，且点到焦点的距离为.

（1）求拋物线的标准方程；

（2）设直线在轴上的截距为，且与抛物线交于，两点，连接并延长交抛物线的准线于点，当直线恰与抛物线相切时，求直线的方程.

Answer 1

【答案】（1）；（2）或.

【解析】

（1）首先利用焦半径公式得到，再写出抛物线方程即可.

（2）首先设直线，，，联立直线与抛物线得到，利用导数求出在点处的切线方程，从而得到，再根据三点共线得到，从而得到直线的方程.

（1）由题知，，所以，解得，

故拋物线的标准方程为.

（2）由题知，直线的斜率存在，不妨设直线，，.

由，消y得，即.

，，，

抛物线在点处的切线方程为.

令，得，

所以，

而三点共线，所以及，得，

即，

整理得，

即：，解得，

即，

故所求直线的方程为或.