Question

【题目】如图，在直角梯形ABCP中，CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC= CP=2，D是CP中点，将△PAD沿AD折起，使得PD⊥面ABCD；

（Ⅰ）求证：平面PAD⊥平面PCD；
（Ⅱ）若E是PC的中点．求三棱锥A﹣PEB的体积．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）证明：∵PD⊥底面ABCD，∴PD⊥AD．

又由于CP∥AB，CP⊥CB，AB=BC

∴正方形ABCD，∴AD⊥CD，

又PD∩CD=D，故AD⊥底面PCD，

∵AD平面PAD，∴PAD⊥底面PCD

（Ⅱ）解：∵AD∥BC，BC平面PBC，AD平面PBC，∴AD∥平面PBC

∴点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离

又∵PD=DC，E是PC的中点

∴PC⊥DE

由（Ⅰ）知有AD⊥底面PCD，∴有AD⊥DE．

由题意得AD∥BC，故BC⊥DE．

又∵PC∩BC=C

∴DE⊥面PBC．

∴ ， ，

又∵AD⊥底面PCD，∴AD⊥CP，

∵AD∥BC，∴AD⊥BC

∴

∴

【解析】（1）证明面面垂直找线面垂直，证明线面垂直找线线垂直。即PD⊥AD，AD⊥CD证明结论。
（2）证明点A到平面PBC的距离即为点D到平面PBC的距离，利用等体积转化法即可求出结论。
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．