Question

【题目】已知圆C： ，直线l：

（Ⅰ）求直线l所过定点A的坐标；

（Ⅱ）求直线l被圆C所截得的弦长最短时m的值及最短弦长；

（Ⅲ）已知点，在直线MC上（C为圆心），存在定点N（异于点M），满足：对于圆C上任一点P，都有为一常数，试求所有满足条件的点N的坐标及该常数。

Answer 1

【答案】（1）直线过定点（2）（3）

【解析】试题分析：（1）将直线中m合并到一起，然后令系数及剩余都为0即可得定点（2）直线l被圆C所截得的弦长最短时即当时（3）由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，则设， ，得 ，且再根据圆系方程可得对任意恒成立， 且即可求出结论

试题解析：

解：（Ⅰ）依题意得，

令且，得

直线过定点

（Ⅱ）当时，所截得弦长最短，由题知，

，得， 由得

圆心到直线的距离为

最短弦长为

（Ⅲ）法一：由题知，直线的方程为，假设存在定点满足题意，

则设， ，得 ，且

整理得，

上式对任意恒成立， 且

解得 或（舍去，与重合）

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数

法二：设直线上的点

取直线与圆的交点，则

取直线与圆的交点，则

令，解得或（舍去，与重合），此时

若存在这样的定点满足题意，则必为，

下证：点满足题意，

设圆上任意一点，则

综上可知，在直线上存在定点，使得为常数