Question

【题目】在中，，.已知分别是的中点.将沿折起，使到的位置且二面角的大小是60°，连接，如图：

（1）证明：平面平面

（2）求平面与平面所成二面角的大小.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析（2）45°

【解析】

（1）设的中点为，连接，设的中点为，连接，，从而即为二面角的平面角，，推导出，从而平面，则，即，进而平面，推导四边形为平行四边形，从而，平面，由此即可得证.

（2）以B为原点，在平面中过B作BE的垂线为x轴，BE为y轴，BA为z轴建立空间直角坐标系，利用向量法求出平面与平面所成二面角的大小.

（1）∵是的中点，∴.

设的中点为，连接.

设的中点为，连接，.

易证：，，

∴即为二面角的平面角.

∴，而为的中点.

易知，∴为等边三角形，∴.①

∵，，，∴平面.

而，∴平面，∴，即.②

由①②，，∴平面.

∵分别为的中点.

∴四边形为平行四边形.

∴，平面，又平面.

∴平面平面.

（2）如图，建立空间直角坐标系，设.

则，，，，

显然平面的法向量，

设平面的法向量为，，，

∴，∴.

，

由图形观察可知，平面与平面所成的二面角的平面角为锐角.

∴平面与平面所成的二面角大小为45°.