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【题目】在半径为R的圆桌上摆放同样大小的半径为r的硬币.要求硬币不准露出圆桌面边缘，并且所摆硬币彼此不能重叠.当摆放n枚硬币之后，圆桌上就不能再多摆放一枚这种硬币了.求证：
.
参考答案：
【答案】见解析
【解析】
由于n枚半径为r的硬币无重叠地摆放在半径为R的圆桌面内，所以n个半径为r的硬币覆盖的总面积小于半径为R的圆面积，即有
.所以
.
现设想把n枚硬币的半径扩大一倍成为半径为2r的“加层硬币”.则这n枚“加层硬币”必完全覆盖住半径为（R - r）的圆面.如若不然的话，设在R - r为的圆面上至少有一点P没被这n个半径为2r的“加层硬币”盖住，则P点到诸半径为r的硬币之间的距离均大于r.所以以P为中心r为半径的圆面可以与前面所放的n枚硬币无重叠地放入半径为R的圆桌面内.这与题设条件矛盾.
所以有
.化简可得
.综合可得
.
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查看答案和解析>>【题目】某商品在近30天内每件的销售价格P元和时间t（t∈N）的关系如图所示．
（1）请确定销售价格P（元）和时间t（天）的函数解析式；
（2）该商品的日销售量Q（件）与时间t（天）的关系是：Q=﹣t+40（0≤t≤30，t∈N），求该商品的日销售金额y（元）与时间t（天）的函数解析式；
（3）求该商品的日销售金额y（元）的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的哪一天？
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查看答案和解析>>【题目】椭圆
（
）的离心率是
，点
在短轴
上，且
。（1）球椭圆
的方程；（2）设
为坐标原点，过点
的动直线与椭圆交于
两点。是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。 -
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查看答案和解析>>【题目】2012年中华人民共和国环境保护部批准《环境空气质量标准》为国家环境质量标准，该标准增设和调整了颗粒物、二氧化氮、铅、笨等的浓度限值，并从2016年1月1日起在全国实施．空气质量的好坏由空气质量指数确定，空气质量指数越高，代表空气污染越严重，某市对市辖的某两个区加大了对空气质量的治理力度，从2015年11月1日起监测了100天的空气质量指数，并按照空气质量指数划分为：指标小于或等于115为通过，并引进项目投资．大于115为未通过，并进行治理．现统计如下．
空气质量指数
（0，35]
[35，75]
（75，115]
（115，150]
（150，250]
＞250
空气质量类别
优
良
轻度污染
中度污染
重度污染
严重污染
甲区天数
13
20
42
20
3
2
乙区天数
8
32
40
16
2
2
（1）以频率值作为概率值，求甲区和乙区通过监测的概率；
（2）对于甲区，若通过，引进项目可增加税收40（百万元），若没通过监测，则治理花费5（百万元）；对于乙，若通过，引进项目可增加税收50（百万元），若没通过监测，则治理花费10（百万元）．．在（1）的前提下，记X为通过监测，引进项目增加的税收总额，求随机变量X的分布列和数学期望． -
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查看答案和解析>>【题目】椭圆
（
）的离心率是
，点
在短轴
上，且
。（1）球椭圆
的方程；（2）设
为坐标原点，过点
的动直线与椭圆交于
两点。是否存在常数
，使得
为定值？若存在，求
的值；若不存在，请说明理由。 -
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查看答案和解析>>【题目】一装有水的直三棱柱ABC-A1B1C1容器(厚度忽略不计),上下底面均为边长为5的正三角形,侧棱为10,侧面AA1B1B水平放置,如图所示,点D、E、F、G分别在棱CA、CB、C1B1、C1A1上,水面恰好过点D，E，F，C,且CD=2
(1)证明:DE∥AB;
(Ⅱ)若底面ABC水平放置时,求水面的高
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查看答案和解析>>【题目】已知四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是菱形，∠BAD=120°，对角线AC与BD交于点O，M为OC中点．
（1）求证：BD⊥PM
（2）若二面角O﹣PM﹣D的正切值为2
，求 
的值．
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