Question

【题目】设函数f（x）=lg（ax﹣bx），且f（1）=lg2，f（2）=lg12

（1）求a，b的值．

（2）当x∈[1，2]时，求f（x）的最大值．

（3）m为何值时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．

Answer 1

【答案】（1）a=4，b=2； （2）当x=2时，函数f（x）取最大值lg12，（3）

【解析】试题分析：（1）根据条件得到关于a，b的方程组求解可得a=4，b=2；（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），根据x∈[1，2]，可得，再由函数的单调性求最值；（3）设t=2x，将问题转化成方程有两个正解处理，根据判别式和根与系数的关系可求解。

试题解析：（1）∵f（1）=lg2，f（2）=lg12， f（x）=lg（ax﹣bx）

∴，解得。

∴a=4，b=2；

（2）由（1）得：函数f（x）=lg（4x﹣2x），

当时， ，

∴，

∴，

故当，即x=2时，函数f（x）取最大值lg12。

（3）若函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点．

则方程4x﹣2x=m有两个解，

令t=2x，则t＞0，

则方程有两个正解；

故， 解得。

所以当时，函数g（x）=ax的图象与h（x）=bx﹣m的图象恒有两个交点。