Question

【题目】已知二次函数的对称轴为，．

（1）求函数的最小值及取得最小值时的值；

（2）试确定的取值范围，使至少有一个实根；

（3）若，存在实数，对任意，使恒成立，求实数的取

值范围．

Answer 1

【答案】（1），此时；（2）；（3）．

【解析】

试题分析：（1）由，则，利用基本不等式，即可求解函数的最小值及取得最小值时的值；（2）根据二次函数的性质，可得，使得，即可求解的取值范围；（3）由已知对任意，恒成立，∴，令，转化为存在，使成立，分类讨论即可求解实数的取值范围．

试题解析：（1）∵，∴，

∴，当且仅当，即时“”成立，即，此时．

（2）的对称轴为，∴，∴，

至少有一实根，∴至少有一实根，

即与的图象在上至少有一个交点，

，∴，，

∴，∴，∴的取值范围为．

（3） ，∴，

由已知存在实数，对任意，恒成立，

∴，

令，∴

转化为存在，使成立，

令，∴的对称轴为，

①当，即时，

，

∴∴．

②当，即时，，

∴∴∴．

综上，的取值范围为．