Question

【题目】已知椭圆的离心率为,且过点.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）过椭圆的左焦点的直线与椭圆交于两点,直线过坐标原点且与直线的斜率互为相反数.若直线与椭圆交于两点且均不与点重合,设直线与轴所成的锐角为,直线与轴所成的锐角为,判断与的大小关系并加以证明.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】试题分析：（Ⅰ）根据椭圆的离心率为,且过点，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、 、，即可得椭圆的方程；（Ⅱ） 与的大小关系只需看两直线斜率之间的关系，设设，联立,消去得,利用斜率公式以及韦达定理，化简可得，直线的倾斜角互补,可得.

试题解析：（Ⅰ）由题可得,解得.

所以椭圆的方程为.

（Ⅱ）结论: ,理由如下:

由题知直线斜率存在,

设.

联立,

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得,

因为与斜率相反且过原点,

设, ,

联立

消去得,

由题易知恒成立,

由韦达定理得,

因为两点不与重合,

所以直线存在斜率,

则

所以直线的倾斜角互补,

所以.