Question

【题目】已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若，直线与曲线和曲线都相切，切点分别为，，求证：．

Answer 1

【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.

【解析】

（1）首先写出函数定义域为，求得，对的范围进行讨论，从而确定出的符号，确定出函数的单调性；

（2）可以从两个角度去分析，方法一是根据导数的几何意义，写出直线的方程为，即，也可以写成，根据两条直线是同一条直线，得到，且，对式子进行整理可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值，从而可以证得结果；方法二是根据两条切线的斜率想的得到，进一步可以得到，构造函数，利用导数研究该函数的单调性及最值得到结果.

（1）定义域为，

因为，

若，则，所以在单调递增，

若，则当时，，当时，，

所以在单调递减，在单调递增．

（2）证法一：

证明：对于曲线，，

直线的方程为，

即，即①．

对于曲线，因为，所以

所以，

直线的方程为，

即，即②．

因为①与②表示同一条直线，所以③，

且④，

④÷③，得，

所以．

令，

，

由（1）知，在单调递增又

∴

有唯一零点，

且当时，，，

当时，，，

所以在上递增，在上递减，

所以，

又，即，

所以，

所以，所以，

又，所以．

证法二：

证明：因为，所以直线的斜率为，

因为，所以，所以，

所以直线的斜率为，

所以，所以，

又因为，

所以，

所以，

令，

所以，所以在单调递增，

又因为，，

所以存在，使得，

且当时，，当时，，

所以在递减，在递增，

因为，所以在递减，

所以当时，，

所以在内无零点，

因为是的零点且，所以．