Question

【题目】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinCsin（B+C）． （Ⅰ）求角A的大小；
（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）sin2B+sin2C=sin2A+2sinBsinCsin（B+C）， 由正弦定理可得 b2+c2=a2+2bcsinA，
由余弦定理可得 b2+c2﹣a2=2bcsinA，
∴cosA=sinA，
∴tanA=1，
∵A∈（0，π），
∴A=
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b2+c2=4+ bc，
∵b2+c2≥2bc，
∴4+ bc≥2bc，当且仅当b=c时取等号，
即bc≤ =4+2 ，
∴S△ABC= bcsinA= bc≤ +1，
∴△ABC面积的最大值 +1．
【解析】（1）由条件利用正弦定理可得 b2+c2=a2+2bcsinA，再由余弦定理可得cosA=sinA，即可求出A，（Ⅱ）根据基本不等式求出bc≤4+2 ，再根据三角形的面积公式计算即可