Question

【题目】已知函数f（x）=9x﹣2a3x+3：

（1）若a=1，x∈[0，1]时，求f（x）的值域；

（2）当x∈[﹣1，1]时，求f（x）的最小值h（a）；

（3）是否存在实数m、n，同时满足下列条件：①n＞m＞3；②当h（a）的定义域为[m，n]时，其值域为[m2，n2]，若存在，求出m、n的值，若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】(1) [2，6]；(2) h（a）=;(3)不存在；理由见解析.

【解析】

试题（1）当a=1，x∈[0，1]时，令t=3x，t∈[1，3]，y=g(t)=, t∈[1，3]，由二次函数可求得值域。(2) φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，对称轴为t=a．即转化为二次函数求值域的三点一轴分类讨论问题，分a＜，≤a≤3，a＞3三类进行讨论。（3）假设存在，n＞m＞3，由（2）知h（a）=12﹣6a，函数h（a）在（3，+∞）上是减函数，所以，两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

M+n=6，矛盾。所以不存在。

试题解析：（1）∵函数f（x）=9x﹣2a3x+3，

设t=3x，t∈[1，3]，

则φ（t）=t2﹣2at+3=（t﹣a）2+3﹣a2，对称轴为t=a．

当a=1时，φ（t）=（t﹣1）2+2在[1，3]递增，

∴φ（t）∈[φ（1），φ（3）]，

∴函数f（x）的值域是：[2，6]；

（Ⅱ）∵函数φ（t）的对称轴为t=a，

当x∈[﹣1，1]时，t∈[，3]，

当a＜时，ymin=h（a）=φ（）=﹣；

当≤a≤3时，ymin=h（a）=φ（a）=3﹣a2；

当a＞3时，ymin=h（a）=φ（3）=12﹣6a．

故h（a）=；

（Ⅲ）假设满足题意的m，n存在，∵n＞m＞3，∴h（a）=12﹣6a，

∴函数h（a）在（3，+∞）上是减函数．

又∵h（a）的定义域为[m，n]，值域为[m2，n2]，

则，

两式相减得6（n﹣m）=（n﹣m）（m+n），

又∵n＞m＞3，∴m﹣n≠0，∴m+n=6，与n＞m＞3矛盾．

∴满足题意的m，n不存在．