Question

【题目】如图，椭圆的离心率为，以椭圆的上顶点为圆心作圆，

，圆与椭圆在第一象限交于点,在第二象限交于点.

（1）求椭圆的方程；

（2）求的最小值，并求出此时圆的方程；

（3）设点是椭圆上异于的一点，且直线分别与轴交于点为坐标原点，求证:

为定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）；（3）详见解析.

【解析】试题分析：（1）依据题设条件求出参数即可；（2）依据题设条件及向量的数量积公式建立目标函数，再借助该函数取得最小值时求出圆的方程；（3）借助直线与椭圆的位置关系进行分析推证：

试题解析：

(1) 由题意知， ,得.

故椭圆的方程为.

(2) 点与点关于轴对称，设，由点椭圆上，则,得

.由题意知， ,当时， 取得最小值.此时， ，故.又点在圆上，代入圆的方程，得.

故圆的方程为.

（3）设，则的方程为.令，得.同理可得， . 故. ①

都在椭圆上， ,代入①得， .即得为定值.