Question

【题目】如图，圆O是△ABC的外接圆，∠BAC的平分线交BC于点F，D是AF的延长线与⊙O的交点，AC的延线与⊙O的切线DE交于点E．

（1）求证： =
（2）若BD=3 ，EC=2，CA=6，求BF的值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：连接CD，则

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠EAD， = ，

∵DE是圆O的切线，

∴∠CDE=∠EAD=∠BAD．

∵∠DCE是四边形ABCD的外角，

∴∠DCE=∠ABD，

∴△ABD∽△DCE，

∴ = ．

（2）解：∵ = ，BD=3 ，

∴BD=CD=3 ，∠CBD=∠BCD，

∵DE是圆O的切线，EC=2，CA=6，

∴∠CDE=∠CBD，DE2=ECEA=16，

∴DE=4，

∴∠CDE=∠BCD，

∴DE∥BC，

∴∠E=∠ACB=∠ADB，

∴△DCE∽△BFD，

∴ ，

∴BF= =

【解析】（1）连接CD，证明△ABD∽△DCE，即可证明： = （2）若BD=3 ，EC=2，CA=6，求出DE，证明△DCE∽△BFD，即可求BF的值．