Question

【题目】笔、墨、纸、砚是中国独有的文书工具，即文房四宝.笔、墨、纸、砚之名，起源于南北朝时期，其中“纸”指的是宣纸，“始于唐代，产于泾县”，因唐代泾县隶属宣州管辖，故因地得名宣纸，宣纸按质量等级分类可分为正牌和副牌（优等品和合格品）某公司生产的宣纸为纯手工制作，年产宣纸10000刀，该公司按照某种质量指标x给宣纸确定质量等级，如下表所示：

x的范围
质量等级	正牌	副牌	废品

公司在所生产的宣纸中随机抽取了一刀（100张）进行检验，得到的频率分布直方图如上图所示.已知每张正牌宣纸的利润为12元，副牌宣纸的利润为6元，废品宣纸的利润为-12元.

（1）试估计该公司生产宣纸的利润；

（2）该公司预备购买一种售价为100万元的机器改进生产工艺，这种机器使用寿命为一年，不影响产量，这种机器生产的宣纸的质量指标x服从正态分布，改进工艺后正牌和副牌宣纸的利润都将受到不同程度的影响，观测的数据如下表所示：

x的范围
一张宣纸的利润	12	8	8	3
频率	0.5	0.5	0.5	0.5

将频率视为概率，请判断该公司是否应该购买这种机器，并说明理由.

附：若，则，，.

Answer 1

【答案】（1）480万元；（2）应该，理由见解析

【解析】

（1）设一张纸的利润为X，由频率分布直方图，用频率估计概率得X的分布列，根据求得数据的期望，即可估计该公司生产宣纸的利润；

（2）服从正态分布，求得、、，设改进生产工艺后一张宣纸的利润为，的取值为12，8，3，，即可求得的分布列为，根据期望公式，即可求得答案.

（1）设一张纸的利润为X，由频率分布直方图，用频率估计概率得X的分布列为：

X	12	6
P	0.4	0.4	0.2

（元）

（元）

估计该公司生产宣纸的利润为480万元.

（2）服从正态分布，

，

，

.

设改进生产工艺后一张宣纸的利润为，则的取值为12，8，3，

，

，

，

，

的分布列为

Y	12	8	3
P	0.3413	0.4987	0.1574	0.0026

（元）

改进生产工艺后，该公司生产宣纸的利润为：（万元）

，

该公司应该购买这种机器.