Question

【题目】如图，在平面直角坐标系xOy中，椭圆E： =1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1 ， F2 ， 离心率为 ，两准线之间的距离为8．点P在椭圆E上，且位于第一象限，过点F1作直线PF1的垂线l1 ， 过点F2作直线PF2的垂线l2 ．
（Ⅰ）求椭圆E的标准方程；
（Ⅱ）若直线l1 ， l2的交点Q在椭圆E上，求点P的坐标．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由题意可知：椭圆的离心率e= = ，则a=2c，①
椭圆的准线方程x=± ，由2× =8，②
由①②解得：a=2，c=1，
则b2=a2﹣c2=3，
∴椭圆的标准方程： ；
（Ⅱ）设P（x0 ， y0），则直线PF2的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x﹣1），
直线PF1的斜率 = ，
则直线l2的斜率k2=﹣ ，直线l2的方程y=﹣ （x+1），
联立 ，解得： ，则Q（﹣x0 ， ），
由Q在椭圆上，则y0= ，则y02=x02﹣1，
则 ，解得： ，则 ，
∴P（ ， ）或P（﹣ ， ）或P（ ，﹣ ）或P（﹣ ，﹣ ）．

【解析】（Ⅰ）由椭圆的离心率公式求得a=2c，由椭圆的准线方程x=± ，则2× =8，即可求得a和c的值，则b2=a2﹣c2=3，即可求得椭圆方程；
（Ⅱ）设P点坐标，分别求得直线PF2的斜率及直线PF1的斜率，则即可求得l2及l1的斜率及方程，联立求得Q点坐标，由Q在椭圆方程，求得y02=x02﹣1，联立即可求得P点坐标；
【考点精析】根据题目的已知条件，利用点斜式方程的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握直线的点斜式方程：直线经过点，且斜率为则：．