Question

【题目】若函数y=lg（3﹣4x+x2）的定义域为M．当x∈M时，求f（x）=2x+2﹣3×4x的最值及相应的x的值．

Answer 1

【答案】解：y=lg（3﹣4x+x2），
∴3﹣4x+x2＞0，
解得x＜1或x＞3，
∴M={x|x＜1，或x＞3}，
f（x）=2x+2﹣3×4x=4×2x﹣3×（2x）2 ．
令2x=t，
∵x＜1或x＞3，
∴t＞8或0＜t＜2．
∴f（t）=4t﹣3t2=﹣3t2+4t（t＞8或0＜t＜2）．
由二次函数性质可知：
当0＜t＜2时，f（t）∈（﹣4， ]，
当t＞8时，f（t）∈（﹣∞，﹣160），
当2x=t= ，即x=log2 时，f（x）max= ．
综上可知：当x=log2 时，f（x）取到最大值为 ，无最小值
【解析】根据题意可得M={x|x2﹣4x+3＞0}={x|x＞3，x＜1}，f（x）=2x+2﹣3×4x=﹣3（2x）2+42x令t=2x ， 则t＞8，或0＜t＜2∴f（t）=﹣3t2+4t利用二次函数在区间（8，+∞）或（0，2）上的最值及x即可
【考点精析】利用函数的最值及其几何意义和二次函数的性质对题目进行判断即可得到答案，需要熟知利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小）值；利用图象求函数的最大（小）值；利用函数单调性的判断函数的最大（小）值；当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减．