Question

【题目】已知函数.

（1）求函数的单调区间；

（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；

（3）证明： .

Answer 1

【答案】（1）上增函数，增，减；（2）证明见解析

【解析】试题分析：（1）求出函数的导数，计算的值，得到关于k的方程，解出即可；（2）判断时，在上是增函数，而不成立，故，又由（1）知的最大值为，由此能确定实数的取值范围．（3）由（2）知，当k=1时，有在恒成立，且在上是减函数，，即在上恒成立，由此能够证明不等式成立即可．

试题解析：

（Ⅰ）函数的定义域为，，

当时，，则在上是增函数；

当时，若，则；若，

则．所以在上是增函数，在上是减函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）知时，在上是增函数，

而不成立，故，

当时，由（Ⅰ）知 ．要使恒成立，则即可．

故，解得.

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，当时有在恒成立，且在上是减函数，，所以在上恒成立.令，则，即，从而，

所以.