Question

【题目】如图，在三棱锥中， 底面， ， ， ， 分别是， 的中点， 在上，且．

（1）求证： 平面；

（2）在线段上上是否存在点，使二面角

的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）见解析; （2）见解析.

【解析】试题分析：第（1）问证明平面，基本思路是证明平面内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住两点找到问题的求解方向：一是点的预设位置，二是二面角的位置．涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法

试题解析：

（1）由， ，

是的中点，得．

因为底面，所以．

在中， ，所以．

因此，又因为，

所以，

则，即． 因为底面，所以，又，

所以底面，则．

又，所以平面．

（2）方法一：假设满足条件的点存在，并设．

过点作交于点，

又由， ，得平

面．

作交于点，连结，则．

于是为二面角的平面角，

即，由此可得．

由，得，于是有， ．

在中， ，即，解得．

于是满足条件的点存在，且．

（2）方法二：假设满足条件的点存在，并设．以为坐标原点，分别以， ， 为， ， 轴建立空间直线坐标系 ，则， ， ，

．由得．

所以， ， ．

设平面的法向量为，则

，即，取，得， ，即．设平面的法向量为，则，即，取，得， ，即．由二面角的大小为，得，化简得，又，求得． 于是满足条件的点存在，且．

点晴：本题考查的是线面垂直的证明和二面角的求解.第（1）问证明平面，基本思路是证明平面内的两条相交直线垂直，注意合理利用题设条件给出的数量关系和图形关系；第（2）问应抓住两点找到问题的求解方向：一是点的预设位置，二是二面角的位置．涉及空间二面角的问题，可以从两个不同的方法上得到求解，即常规法和向量法