Question

【题目】已知不等式对一切都成立，则的最小值是（ ）

A. B. C. D. 1

Answer 1

【答案】C

【解析】令，则

若a≤0，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．

若a＞0，由y′=0得：x=，

当﹣1＜x＜时，y′＞0，函数递增；

当x＞时，y′＜0，函数递减．

则x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2，

∴﹣lna+a﹣b﹣2≤0，

∴b≥﹣lna+a﹣2，

∴≥1﹣﹣，

令t=1﹣﹣，

∴t′=，

∴（0，e﹣1）上，t′＜0，（e﹣1，+∞）上，t′＞0，

∴a=e﹣1，tmin=1﹣e．

∴的最小值为1﹣e．

点晴:本题主要考查用导数研究不等式恒成立问题. 解决这类问题的一种方法法是：通过变量分离将含参函数的问题转化为不含参的确定函数的最值问题，本题中a≤0时，则y′＞0恒成立，x＞﹣1时函数递增，无最值．a＞0时x=处取得极大值，也为最大值﹣lna+a﹣b﹣2≤0，可得b≥﹣lna+a﹣2，于是≥1﹣﹣，令t=1﹣﹣，然后利用导数研究这个函数的单调性、极值和最值，可得的最小值.