Question

【题目】函数f（x）=lnx+ ，g（x）=ex﹣ （e是自然对数的底数，a∈R）．
（Ⅰ）求证：|f（x）|≥﹣（x﹣1）2+ ；
（Ⅱ）已知[x]表示不超过x的最大整数，如[1.9]=1，[﹣2.1]=﹣3，若对任意x1≥0，都存在x2＞0，使得g（x1）≥[f（x2）]成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ） （x＞0）．

当x＞1时，f'（x）＞0，当0＜x＜1时，f'（x）＜0，

即f（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增，

所以，当x=1时，f（x）取得最小值，最小值为 ，

所以 ，

又 ，且当x=1时等号成立，

所以， ．

（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f（x）]min，

依题意有g（x）min≥[f（x）]min，

由（Ⅰ）知 ，所以[f（x）]min=0，则有g（x）min≥0，g'（x）=ex﹣x﹣a．

令h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，

而当x≥0时，ex≥1，所以h'（x）≥0，

所以h（x）在[0，+∞）上是增函数，所以h（x）min=h（0）=1﹣a．

①当1﹣a≥0，即a≤1时，h（x）≥0恒成立，即g'（x）≥0，

所以g（x）在[0，+∞）上是增函数，所以 ，

依题意有 ，解得 ，

所以 ．

②当1﹣a＜0，即a＞1时，因为h（x）在[0，+∞）上是增函数，且h（0）=1﹣a＜0，

若a+2＜e2，即1＜a＜e2﹣2，则h（ln（a+2））=a+2﹣ln（a+2）﹣a=2﹣ln（a+2）＞0，

所以x0∈（0，ln（a+2）），使得h（x0）=0，即 ，

且当x∈（0，x0）时，h（x）＜0，即g'（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h（x）＞0，即g'（x）＞0，

所以，g（x）在（0，x0）上是减函数，在（x0，+∞）上是增函数，

所以 ，

又 ，所以 ，

所以 ，所以0＜x0≤ln2．

由 ，可令t（x）=ex﹣x，t'（x）=ex﹣1，当x∈（0，ln2]时，ex＞1，所以t（x）在（0，ln2]上是增函数，

所以当x∈（0，ln2]时，t（0）＜t（x）≤t（ln2），即1＜t（x）≤2﹣ln2，

所以1＜a≤2﹣ln2．

综上，所求实数a的取值范围是

【解析】（Ⅰ）求出导函数 （x＞0）．求出函数的最小值，利用二次函数的性质推出结果．（Ⅱ）记当x≥0时，g（x）的最小值为g（x）min，当x＞0时，[f（x）]的最小值为[f（x）]min，题目转化为g（x）min≥[f（x）]min，h（x）=ex﹣x﹣a，h'（x）=ex﹣1，通过求解导数，①当a≤1时，求出 ，②当a＞1时，利用h（x）在[0，+∞）上是增函数，推出 ，转化求出 ，转化求解1＜a≤2﹣ln2．
【考点精析】本题主要考查了利用导数研究函数的单调性的相关知识点，需要掌握一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减才能正确解答此题．