Question

【题目】已知正三棱锥P﹣ABC底面边长为6，底边BC在平面α内，绕BC旋转该三棱锥，若某个时刻它在平面α上的正投影是等腰直角三角形，则此三棱锥高的取值范围是（ ）

A.（0， ]
B.（0， ]∪[ ，3]
C.（0， ]
D.（0， ]∪[3， ]

Answer 1

【答案】B
【解析】解：设正三棱锥P﹣ABC的高为h，
在△ABC中，设其中心为O，BC中点为E，则OE= × ，
当h= 时，PE= ，PB= = ，△PBC为等腰直角三角形，即当△PBC在平面α内时符合，
P不在平面α内时，设p在α内的投影为P'，PP'=d，∵△P'BC为等腰直角三角形，故P'E=3PE= ＞3，
又PE= = ＞3，
∴h2＞6，∴h＞ ．
由选项可知B符合，
故选：B．
【考点精析】关于本题考查的棱锥的结构特征，需要了解侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相似，其相似比等于顶点到截面距离与高的比的平方才能得出正确答案．