Question

【题目】已知函数f（x），当x，y∈R时，恒有f（x+y）=f（x）+f（y）．当x＞0时，f（x）＞0
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若 ， 试求f（x）在区间[﹣2，6]上的最值；

Answer 1

【答案】解：（1）令x=0，y=0，则f（0）=2f（0），
∴f（0）=0．令y=﹣x，则f（0）=f（x）+f（﹣x），
∴f（x）=f（﹣x），即f（x）为奇函数；
（2）任取x1 ， x2∈R，且x1＜x2
∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x2）﹣f（x1）=f（x2﹣x1），
∵当x＞0时，f（x）＞0，且x1＜x2 ，
∴f（x2﹣x1）＞0，
即f（x2）＞f（x1），
∴f（x）为增函数，
∴当x=﹣2时，函数有最小值，f（x）min=f（﹣2）=﹣f（2）=﹣2f（1）=﹣1．
当x=6时，函数有最大值，f（x）max=f（6）=6f（1）=3
【解析】（1）在给出的等式中取x=y=0，求得f（0）=0，再取y=﹣x可证明f（x）是奇函数；
（2）利用函数单调性的定义，借助于已知等式证明函数f（x）为增函数，从而求出函数在给定区间上的最值；
【考点精析】利用函数的奇偶性和指、对数不等式的解法对题目进行判断即可得到答案，需要熟知偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称；指数不等式的解法规律：根据指数函数的性质转化;对数不等式的解法规律：根据对数函数的性质转化．