Question

【题目】函数f（x）=（cosx﹣sinx）sin（x+）﹣2asinx+b（a＞0）．
（1）若b=1，且对任意 ， 恒有f（x）＞0，求a的取值范围；
（2）若f（x）的最大值为1，最小值为﹣4，求实数a，b的值．

Answer 1

【答案】解：（1）当b=1时，函数式可化简如下：
f（x）=（cosx﹣sinx）（cosx+sinx）﹣2asinx+1
=（cos2x﹣sin2x）﹣2asinx+1=﹣sin2x﹣2asinx+，
令t=sinx（0＜t＜），对任意x∈（0，），恒有f（x）＞0，
即为﹣t2﹣2at+＞0，分离参数得：﹣2a＞t﹣，
由t﹣在（0，）递增，所以，t﹣＜﹣3=﹣，
因此，﹣2a＞﹣，解得，0＜a＜，
即实数a的取值范围为（0，）；
（2）f（x）=﹣sin2x﹣2asinx+b+，令t=sinx（﹣1≤t≤1），
记g（t）=﹣t2﹣2at+b+，图象的对称轴t=﹣a＜0，且开口向下，
①当﹣a≤﹣1时，即a≥1，函数g（t）在[﹣1，1]上单调递减，则
g（t）max=g（﹣1）=﹣1+2a+b+=1，
g（t）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解得a=，b=﹣1；
②当﹣1＜﹣a＜1时，即0＜a＜1，函数g（t）在[﹣1，1]上先增后减，则
g（x）max=g（﹣a）=+b+a2=1，
g（x）min=g（1）=﹣1﹣2a+b+=﹣4，
解方程可得a=﹣1，b=2﹣，由于a=﹣1＞1，不合题意，舍去．
综上可得a=，b=﹣1．
【解析】（1）先化简函数式，将函数化为sinx的二次型函数，再用分离参数法和单调性求解；
（2）讨论二次函数在“动轴定区间”上的最值，再列方程求解．