Question

【题目】如图，在四棱锥中，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA=PD，AB⊥AD，AB=1，AD=2， .

（1）求证：PD⊥平面PAB；

（2）求直线PB与平面PCD所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)见解析；（2）

【解析】试题分析：（1）由条件得平面PAD，因此，再结合 ，可得PD⊥平面PAB。（2）取AD的中点O，连PO，CO，可证得OP,OA,OC两两垂直，建立空间直角坐标系，用向量的运算求解。

试题解析：

（1）∵平面PAD⊥平面ABCD, 平面PAD平面ABCD=AD, AB⊥AD，

∴平面PAD，

∵平面PAD，

∴,

又，

∴ PD⊥平面PAB。

（2）取AD的中点O，连PO，CO。

∵，

∴CO⊥AD，

∵PA=PD，

∴PO⊥AD，

∴OP,OA,OC两两垂直，

以O为原点建立如图所示的空间直角坐标系O-xyz，

则。

∴。

设平面PCD的一个法向量为，

由 ，得。

令，则。

设直线PB与平面PCD所成角为，

则.

∴直线PB与平面PCD所成角的正弦值为。