Question

【题目】已知函数，其中且，设．

(Ⅰ)求函数的定义域，判断的奇偶性，并说明理由；

(Ⅱ)若，求使成立的的集合．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) 定义域为；为奇函数；(Ⅱ).

【解析】

(Ⅰ) 函数的定义域为定义域的交集，分别求出的定义域然后求交集即可求出的定义域；根据奇偶性的定义判断的奇偶性即可.

(Ⅱ)因为，所以求出a=2，代入利用对数不等式的解法求使的的集合.

(1)∵f(x)＝loga(2＋x)的定义域为{x|x>－2}，

g(x)＝loga(2－x)的定义域为{x|x<2}，

∴h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x>－2}∩{x|x<2}＝{x|－2<x<2}．

∵h(x)＝f(x)－g(x)＝loga(2＋x)－loga(2－x)，

∴h(－x)＝loga(2－x)－loga(2＋x)＝－[loga(2＋x)－loga(2－x)]＝－h(x)，

∴h(x)为奇函数．

(2)∵f(2)＝loga(2＋2)＝loga4＝2，∴a＝2.

∴h(x)＝log2(2＋x)－log2(2－x)，

∴h(x)<0等价于log2(2＋x)<log2(2－x)，

∴ ，

解得－2<x<0.

故使h(x)<0成立的x的集合为{x|－2<x<0}．