Question

【题目】已知函数.

（Ⅰ）若曲线在点处的切线经过点（0,1），求实数的值；

（Ⅱ）求证：当时，函数至多有一个极值点；

（Ⅲ）是否存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）证明见解析；（Ⅲ）当且仅当时，函数在定义域上的极小值大于极大值．

【解析】

试题分析：（Ⅰ）对进行求导，利用导数的几何意义以及两点间斜率计算公式可得，可得的值；（Ⅱ）当时，利用与的关系，判断的单调性，易得在上单调递增，无极值；当时，把函数至多有一个极值点转化为至多有一个零点，令，对进行求导，讨论的单调性，得其最多有一个零点，故可得证；（Ⅲ）若极小值大于极大值，由（Ⅱ）得不成立，验证当时也不成立，研究时，在上的极小值为，无极大值，在上的极大值为，无极小值，易得，即得证.

试题解析：（Ⅰ）由，得.

所以，.

所以由得.

（Ⅱ）证明：当时，

当时，，函数在上单调递增，无极值；

当时，令，则.

由得，则

①当，即时，，在上单调递减，

所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.

所以函数在上至多有一个极值点.

②当，即时，及随的变化情况如下表：

因为，

所以在上至多有一个零点，即在上至多有一个零点.

所以函数在上至多有一个极值点.

综上，当时，函数在定义域上至多有一个极值点.

（Ⅲ）存在实数，使得函数在定义域上的极小值大于极大值. 的取值范围是.

由（Ⅱ）可知当时，函数至多有一个极值点，不可能同时存在极大值与极小值.

当时，，无极值；

当时，及随的变化情况如下表：

①下面研究在上的极值情况：

因为，，

所以存在实数，使得，

且时，，即，在上递减；

时，，，在上递增；

所以在上的极小值为，无极大值.

②下面考查在上的极值情况：

当时，；

当时，，

令，则，令，

因为在上递减，

所以，即.

综上，因为，

所以存在实数，，

且时，，即，在上递减；

时，，，在上递增；

所以在上的极大值为，无极小值.

又因为，且，

所以，

所以，当且仅当时，函数在定义域上的极小值大于极大值.