Question

【题目】已知f（x）= ．
（1）证明：f（x）是定义域内的增函数；
（2）求f（x）的值域．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵f（x）= = =1﹣ ．

∴f′（x）= ，

∵f′（x）＞0恒成立，

故f（x）是定义域R内的增函数

（2）当x→﹣∞时，102x→0， →2，f（x）→﹣1，

当x→+∞时，102x→+∞， →0，f（x）→1，

故f（x）的值域为（﹣1，1）

【解析】（1）求导，根据f′（x）＞0恒成立，可得：f（x）是定义域R内的增函数；（2）求出函数在x→﹣∞时和x→+∞时的极限值，进而可得函数的值域．
【考点精析】利用函数的值域和利用导数研究函数的单调性对题目进行判断即可得到答案，需要熟知求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的；一般的,函数的单调性与其导数的正负有如下关系： 在某个区间内，(1)如果，那么函数在这个区间单调递增；(2)如果，那么函数在这个区间单调递减．