Question

【题目】已知球内接正四棱锥的高为相交于，球的表面积为，若为中点.

(1)求异面直线和所成角的余弦值；

(2)求点到平面的距离.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】试题分析：(1) 由球的表面积求出球的半径R，设球心为，则必在上，连，根据球的性质有，求解易得底面边长以及侧棱长，则结论易得；(2)证明平面，则到平面的距离等于到平面的距离，由，则结论易得.

试题解析：由球的表面积公式，得球的半径，

设球心为，在正四棱锥中，高为，则必在上，

连，则，

则在，有，即，可得正方形的边长为,

侧棱.

(1)在正方形中， ，所以是异面直线和所成的角或其补角，

取中点，在等腰中，可得，斜高，

则在中， ，

所以异面直线和所成的角的余弦值为；

(2)由为中点，得，

且满足平面平面，所以平面，

所以到平面的距离等于到平面的距离，

又因为,

再设到平面的距离为，则由，

可得，则，

所以点到平面的距离.