Question

【题目】在直角坐标系中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ＝4cosθ－2sinθ.

(Ⅰ)求C的参数方程；

(Ⅱ)若点A在圆C上，点B(3,0)，求AB中点P到原点O的距离平方的最大值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ) (α为参数)(Ⅱ) .

【解析】试题分析：(Ⅰ) 已知极坐标方程两边同乘，利用，化简方程得直角坐标方程，从而可求的参数方程；(Ⅱ) 利用参数方程，设出中点坐标，将中点到原点的距离平方用三角函数表示，根据辅助角公式化简，利用三角函数的有界性，可求中点到原点的距离平方的最大值.

试题解析：(Ⅰ)由ρ＝4cos θ－2sin θ得ρ2＝4ρcos θ－2ρsin θ，

x2＋y2＝4x－2y，∴(x－2)2＋(y＋1)2＝5，

化为参数方程是 (α为参数).

(Ⅱ)设点P(x，y)，A(x0，y0)．

因为点B(3,0)，且AB中点为P，

所以

又点A在圆C上，

所以x0＝2＋cos α，y0＝－1＋sin α，

∴x2＋y2＝＋＝＋＝＝≤ (其中tanφ＝5)，

∴AB中点P到原点O的距离平方的最大值为.