Question

【题目】函数f(x)＝a－2ln x(a∈R)．

(Ⅰ)当a＝2时，求曲线f(x)在x＝2处的切线方程；

(Ⅱ)若a>，且m，n分别为f(x)的极大值和极小值，S＝m－n，求证：S<.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)3x－2y－4ln 2＝0(Ⅱ)见解析

【解析】试题分析：(Ⅰ) 求出导数，计算可得到切线斜率，求出 可得切点坐标，利用点斜式即可求出切线方程；(Ⅱ) 设的两根为，所以，求出，将的值代入的解析式，化简，构造新函数，求导数，利用导数研究函数的单调性，应用单调性求最值，即可证明结论.

试题解析：(Ⅰ) f′(x)＝a＋－，若a＝2，则f′(2)＝2＋－＝，f(2)＝4－1－2ln 2＝3－2ln 2，则曲线f(x)在x＝2处的切线方程为y－(3－2ln 2)＝ (x－2)，化简得3x－2y－4ln 2＝0.

(Ⅱ)f′(x)＝，令f′(x)＝0，得ax2－2x＋a＝0，

则Δ>0且<a，得<a<1，此时设f′(x)＝0的两根为x1，x2(x1<x2)，

所以m＝f(x1)，n＝f(x2)．

因为x1x2＝1，所以x1<1<x2，由<a<1，

所以S＝m－n＝ax1－－2ln x1－(ax2－－2ln x2)

＝ax1－－2ln x1－(－ax1＋2ln x1)

＝2(ax1－－2ln x1)．

由a－2x1＋a＝0得a＝，

代入上式得S＝4(－lnx1)

＝4(－ln)．

令h(x)＝ax2－2x＋a，则h＝－＋a

＝a·－>·－＝－＝0，

x＝ 是抛物线h(x)的对称轴．

∴<x1<1.

令＝t，所以<t<1，g(x)＝－ln x，则S＝4g(t)，

g'(x)＝<0，所以g(x)在≤x≤1上为减函数，

从而g(1)<g(t)<g()，即0<g(t)< ，所以S<.

【方法点晴】本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出在处的导数，即在点 出的切线斜率（当曲线在处的切线与轴平行时，在 处导数不存在，切线方程为）；（2）由点斜式求得切线方程.