Question

【题目】在四棱锥中，底面为平行四边形， ， ， ， 点在底面内的射影在线段上，且， ， 为的中点， 在线段上，且.

（1）当时，证明：平面平面；

（2）当时，求平面与平面所成的二面角的正弦值及四棱锥的体积.

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）.

【解析】试题分析：

(1)构造辅助线，首先证得平面，又平面，所以平面平面.

(2)结合题意可求得平面与平面所成的二面角的正弦值为，四棱锥的体积为.

试题解析：

（1）证明：连接，作交于点，则四边形为平行四边形， ，在中， ， ， ，由余弦定理得.所以，从而有.

在中， ， 分别是， 的中点，

则，又故有，

因为，所以.

由平面， 平面，

得，又， ，

得平面，又平面，

所以平面平面.

（2）.四棱锥的体积.

， .