Question

【题目】已知椭圆： （）的焦距为，点在上.

（Ⅰ）求椭圆的方程；

（Ⅱ）设点在上，点的轨迹为曲线，过原点作直线与曲线交于、两点，点，证明： 为定值，并求出定值.

Answer 1

【答案】（1）（2）3

【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意知：c= ，根据椭圆定义可求得a，根据b2=a2-c2可得b；（Ⅱ）分直线的斜率为0，不为0两种情况进行讨论：当直线的斜率为0时直接按照向量数量积运算即可；当直线的斜率不为0时，设直线的方程为： ， ， ．联立直线方程与椭圆方程消掉y得x的一元二次方程，由韦达定理及向量数量积公式代入运算可得结论；

试题解析：

（Ⅰ）由已知得，解得， 椭圆的方程为.

（Ⅱ）由条件可得， 曲线的方程为.

当直线的斜率不存在时，不妨设， ，则， ， ；

当直线的斜率存在时，设其方程为，可设点， ，

则， ， ，

把点代入曲线的方程得， .

综上可知， .