Question

【题目】已知短轴长为2的椭圆，直线的横、纵截距分别为，且原点到直线的距离为．

（1）求椭圆的方程；

（2）直线经过椭圆的右焦点且与椭圆交于两点，若椭圆上存在一点满足，求直线的方程．

Answer 1

【答案】（1）.（2）或.

【解析】试题分析：直线的方程有参数，利用原点到其距离为可以得到的大小，从而得到椭圆的方程．（2）中的三点满足向量关系式，将各点坐标代入，可以得到三个点的坐标之间的关系，而在椭圆上，所以两点的坐标满足关系式，再利用两点在直线上，得到关于的一个关系式，利用韦达定理转化为的方程可以解出的值．

解析：（1）因为椭圆的短轴长为2，故.依题意设直线的方程为： ，由.解得，故椭圆的方程为.

（2）设

当直线的斜率为0时，显示不符合题意.

当直线的斜率不为0时， ，设其方程为，由，得，所以①.

因为，所以.又点在椭圆上，∴

.又∵，

∴②，将，及①代入②得，即或.故直线的方程为或.