Question

【题目】设数列{an}的前n项和为Sn ， 对任意的正整数n，都有an=5Sn+1成立，记bn= （n∈N*）．
（1）求数列{an}和数列{bn}的通项公式；
（2）设数列{bn}的前n项和为Rn ， 求证：对任意的n∈N* ， 都有Rn＜4n；
（3）记cn=b2n﹣b2n﹣1（n∈N*），设数列{cn}的前n项和为Tn ， 求证：对任意n∈N* ， 都有Tn＜ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵an=5Sn+1，

当n=1时，a1=5a1+1，∴a1=﹣ ．

当n≥2时，an﹣1=5Sn﹣1+1，

∴an﹣an﹣1=5an，

∴ =﹣ ，

∴{an}是以﹣ 为首项，以﹣ 为公比的等比数列．

∴an=（﹣ ）n．

∴bn= ．

（2）解：由（1）知bn= =4+ ．

∴b2k+b2k﹣1=8+ + =8+ =8﹣ ＜8．

∴当n为偶数时，设n=2m，则Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣1+b2m）＜8m=4n．

当n为奇数时，设n=2m﹣1，Rn=（b1+b2）+（b3+b4）+…+（b2m﹣3+b2m﹣2）+b2m﹣1＜8（m﹣1）+4=4n．

∴对任意的n∈N*，都有Rn＜4n．

（3）解：cn=b2n﹣b2n﹣1= + = = ＜ = ．

∵b1=3，b2= ，∴c1= ，

∴当n=1时，T1＜ ．

当n≥2时，Tn＜ +25（ +…+ ）= +25×

＜ +25× = ．

∴对任意n∈N*，都有Tn＜ ．

【解析】（1）利用公式an= 求出{an}为等比数列，得出其通项公式，代入bn= 得出{bn}的通项公式；（2）化简bn ， 得出{bn}的相邻两项之和小于8，从而得出结论；（3）化简cn ， 得出cn＜ ，从第二项开始使用不等式cn＜ ，得出结论．
【考点精析】本题主要考查了数列的前n项和和数列的通项公式的相关知识点，需要掌握数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；如果数列an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式才能正确解答此题．