Question

【题目】已知函数.

（1）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；

（2）若函数有两个不同的零点.

（ⅰ）求实数的取值范围；

（ⅱ）求证：.（其中为的极小值点）

Answer 1

【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）证明见解析.

【解析】

1先求其导函数，转化为，即求的最小值即可；
2结合第一问的结论得不单调，故；设有两个根，设为，，且，可得原函数的单调性，把问题转化为，即可求解结论．
转化为先证明不等式，若，，，则再把原结论成立转化为证；构造函数一步步推其成立即可．

（1）由，得，

设，；则；

由，解得，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以

因为函数在上单调递增，所以在恒成立

所以；

所以，实数的取值范围是：.

（2）（i）因为函数有两个不同的零点，不单调，所以.

因此有两个根，设为，且，

所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增；

又，，当充分大时，取值为正，因此要使得有两个不同的零点，则必须有，即；

又因为；

所以：，解得，所以；

因此当函数有两个不同的零点时，实数的取值范围是.

（ⅱ）先证明不等式，若，，则.

证明：不妨设，即证，

设，，，

只需证且；

因为，，

所以在上单调递减，在上单调递增，

所以，，从而不等式得证.

再证原命题.

由得；

所以，两边取对数得：；

即.

因为，

所以，

因此，要证.

只需证；

因为在上单调递增，，所以只需证，

只需证，即证，其中；

设，，只需证；

计算得；

.

由在上单调递增，

得，

所以；即在上单调递减，

所以：；

即在上单调递增，所以成立，即原命题得证.