Question

【题目】已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b=acosc+ csinA．
（1）求角A的大小；
（2）当a=3时，求△ABC周长的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：由 及正弦定理得， ，

∵B=π﹣（A+C），

∴ ，

∴ ，

∴ ，

∵C∈（0，π），

∴sinC≠0，

∴

易知cosA≠0，

∴ ，

∵A∈（0，π）

∴ ．

（2）解：由余弦定理a2=b2+c2﹣2bccosA，得9=b2+c2﹣bc

∵b2+c2≥2bc，当且仅当b=c时，“=”成立，…（8分）

∴9=b2+c2﹣bc≥bc，即bc≤9，当且仅当b=c=3时，“=”成立，

又由9=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，得（b+c）2=9+3bc≤36，

∴b+c≤6，

∵b+c＞3，

∴6＜a+b+c≤9

∴求△ABC周长的取值范围（6，9]．

【解析】（1）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，可得 ，
又sinC≠0，可求 ，结合范围A∈（0，π），即可求得A的值．（2）由余弦定理得9=b2+c2﹣bc，利用基本不等式可求bc≤9，又由9=b2+c2﹣bc=（b+c）2﹣3bc，得b+c≤6，又b+c＞3，可得范围6＜a+b+c≤9．
【考点精析】本题主要考查了正弦定理的定义和余弦定理的定义的相关知识点，需要掌握正弦定理:；余弦定理:;;才能正确解答此题．