Question

【题目】设直线：（）与椭圆相交于，两个不同的点，与轴相交于点，记为坐标原点．

（1）证明：；

（2）若，求的面积取得最大值时的椭圆方程．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】试题分析：（1）设直线的方程为，将直线的方程代入抛物线的方程，消去得到关于的一元二次方程，再结合直线与椭圆相交于两个不同的点得到根的判别式大于，从而解决问题；（2）设，，由（1）得，由，得从而求得的面积，最后利用基本不等式求得其最大值，及取得最大值时的值，从而即可求得的面积取得最大值时的椭圆方程.

试题解析：（1）依题意，直线显然不平行于坐标轴，故可化为，

将代入，整理得，①

由直线与椭圆相交于两个不同的点，得，

化简整理即得．（*）

（2），，由①，得，②

因为，，由，得，③

由②③联立，解得，④

的面积 ，

上式取等号的条件是，即．

当时，由④解得；当时，由④解得．

将，及，这两组值分别代入①，

均可解出，

经验证，，满足（*）式．

所以，的面积取得最大值时椭圆方程为．