Question

【题目】椭圆中心在原点，焦点在轴上， 、分别为上、下焦点，椭圆的离心率为， 为椭圆上一点且．

（1）若的面积为，求椭圆的标准方程；

（2）若的延长线与椭圆另一交点为，以为直径的圆过点， 为椭圆上动点，求的范围．

Answer 1

【答案】（1）（2）

【解析】试题分析：（1）根据与椭圆的对称性可得为椭圆的左、右顶点，再由题设条件列出方程组，即可求出椭圆的方程；（2）由离心率得出之间的关系，由为直径的圆过点，可得点横坐标，再根据三点共线，求出点纵坐标，将点坐标代入到椭圆方程化简可求出的值，即可得到椭圆方程，设点，根据向量坐标表示出，根据取值范围即可求出的范围.

试题解析：（1）由椭圆的对称性可知， 为椭圆的左、右顶点，可设，

∴解得∴．

（2）椭圆的离心率为， ，则， ， ，

∵以为直径的圆过点，∴．

又∵的延长线与椭圆另一交点为，则、、三点共线，

∴，∴，

∴， ，

又∵在椭圆中，则代入椭圆方程有， ， ，

设椭圆上动点，则， ，

∴ ， ，

∴．