Question

【题目】已知四棱锥P﹣ABCD，底面ABCD是直角梯形，AD∥BC，∠BCD=90°，PA⊥底面ABCD，△ABM是边长为2的等边三角形， ．

（1）求证：平面PAM⊥平面PDM；
（2）若点E为PC中点，求二面角P﹣MD﹣E的余弦值．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵△ABM是边长为2的等边三角形，底面ABCD是直角梯形，∴ ，

又 ，∴CM=3，∴AD=3+1=4，∴AD2=DM2+AM2，∴DM⊥AM．

又PA⊥底面ABCD，∴DM⊥PA，∴DM⊥平面PAM，

∵DM平面PDM，∴平面PAM⊥平面PDM．

（2）解：以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，

过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，

则 ， ， ，

设平面PMD的法向量为 ，

则 ，

取x1=3，∴ ．

∵E为PC中点，则 ，CD

设平面MDE的法向量为 ，

则 ，取x2=3，∴ ．

由 ．

∴二面角P﹣MD﹣E的余弦值为

【解析】（1）证明DM⊥AM．DM⊥PA，推出DM⊥平面PAM，即可证明平面PAM⊥平面PDM．（2）以D为原点，DC所在直线为x轴，DA所在直线为y轴，过D且与PA平行的直线为z轴，建立空间直角坐标系D﹣xyz，求出平面PMD的法向量，平面MDE的法向量，利用向量的 数量积求解二面角P﹣MD﹣E的余弦值．