Question

【题目】如图，直三棱柱中， 、分别是, 的中点，已知与平面所成的角为， .

（1）证明： ∥平面；

（2）求二面角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2) .

【解析】试题分析：（1）连接，交于点，则为的中点，结合是的中点，根据三角形中位线定理可得∥，利用直线与平面平行的判定定理证明平面；（2）根据勾股定理可得，以为坐标原点， 、、为轴、轴、轴建立如图的空间坐标系，利用向量垂直数量积为零，列方程组分别求出平面的法向量与平面的法向量，利用空间向量夹角余弦公式可得结果.

试题解析：（1）证明：连接，交于点

则为的中点

又是的中点，连接

则∥，

因为平面， 平面

所以∥平面

（2）解：易知

则，得

以为坐标原点， 、、为轴、轴、轴建立如图的空间坐标系，

则， ， ， ， ，

设是平面的法向量，

则，即，

可取

同理，设是平面的法向量，则，

可取

从而

故

即二面角的正弦值为.

【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理以及利用空间向量求二面角，属于难题.空间向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.