Question

【题目】如图，在四棱锥P﹣ABCD中，已知PA⊥平面ABCD，AD∥BC，AD⊥AB，PA=AD=2BC=2AB=2．

（1）求证：平面PAC⊥平面PCD；
（2）若E是PD的中点，求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比．

Answer 1

【答案】
（1）证明：∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，

∴PA⊥CD．

取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD．

∴∠ACH=∠DCH=45°，

∴AC⊥CD，

∵PA∩AC=A，

∴CD⊥平面PAC，

∵CD平面PAC，

∴平面PAC⊥平面PCD；

（2）证明：解：取PD中点E，PA中点F，连接EF，BE，则EF∥AD，

∵BC∥AD，

∴EF∥BC，

∴B，C，E，F四点共面．

故平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上部分为四棱锥P﹣BCEF，下部分为多面体EFABCD．

易知ABF﹣HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD．

∴V2=VABF﹣HCE+VC﹣DEH=S△ABFBC+ = +

= = ，

∵VP﹣ABCD= = =1，

∴V1=1﹣ = ，

∴ = ．

【解析】（1）取AD中点H，连接CH，则CH⊥AD，CH=AB=HD，证明CD⊥平面PAC，即可证明求证：平面PAC⊥平面PCD；（2）证明B，C，E，F四点共面，故平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上部分为四棱锥P﹣BCEF，下部分为多面体EFABCD．易知ABF﹣HCE为直三棱柱，CH⊥平面PAD，利用体积公式，即可求平面BCE将四棱锥P﹣ABCD分成的上下两部分体积V1、V2之比．
【考点精析】解答此题的关键在于理解平面与平面垂直的判定的相关知识，掌握一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．