Question

【题目】已知函数，函数， ， 且.

（1）讨论函数的单调性；

（2）若，且对任意的，总存在，使成立，求实数的取值范围.

Answer 1

【答案】（1）当时， 在上单调递减，当时， 在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）.

【解析】试题分析：（1）确定函数定义域，对函数求导，根据导数的正负确定单调区间；（2）分别表示出的值域，根据的值域应为的值域的子集可得答案.

试题解析：（1），………………………………1分

当时， ，则在上单调递减.……………………2分

当时， 得；由得.…………………………4分

∴在区间上单调递减，在区间上单调递增.………………5分

（2）∵对任意的，总存在，使，

∴对任意的，总存在，使，………………6分

设在上的值域为，函数在上的值域为，则.……7分

当时， ，即函数在上单调递减，∴，…………………………………………………………8分

，

①当时， 在上是减函数，此时， 的值域为，

∵，又，∴，即.………………10分

②当时， 在上是增函数，此时， 的值域为，∵，

∴，∴，

综上可知的取值范围是.…………………………12分