Question

【题目】已知等差数列{an}的前n项和为Sn=n2+pn+q（p，q∈R），且a2 ， a3 ， a5成等比数列．
（1）求p，q的值；
（2）若数列{bn}满足an+log2n=log2bn ， 求数列{bn}的前n项和Tn ．

Answer 1

【答案】
（1）

解法一：

当n=1时，a1=S1=1+p+q，

当n≥2时，an=Sn﹣Sn﹣1…（2分）

=n2+pn+q﹣[（n﹣1）2+p（n﹣1）+q]

=2n﹣1+p．

∵{an}是等差数列，

∴1+p+q=2×1﹣1+p，得q=0．

又a2=3+p，a3=5+p，a5=9+p

∵a2，a3，a5成等比数列，

∴ ，即（5+p）2=（3+p）（9+p），

解得p=﹣1．

解法二：

设等差数列{an}的公差为d，

则 ．

∵ ，

∴ ， ，q=0．

∴d=2，p=a1﹣1，q=0．

∵a2，a3，a5成等比数列，

∴ ，

即 ．

解得a1=0．

∴p=﹣1．

（2）

解法一：

由（1）得an=2n﹣2．

∵an+log2n=log2bn，

∴ ．

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）4n﹣2+n4n﹣1，①

，②

①﹣②得 = = ．

∴

解法二：

由（1）得an=2n﹣2．

∵an+log2n=log2bn，

∴ ．

∴Tn=b1+b2+b3+…+bn﹣1+bn

=40+2×41+3×42+…+（n﹣1）4n﹣2+n4n﹣1．

由 ，

两边对x取导数得，

x0+2x1+3x2+…+nxn﹣1= ．

令x=4，得 ．

∴

【解析】解法一：（1）a1=S1=1+p+q，an=Sn﹣Sn﹣1=2n﹣1+p，由此求出q=0，由a2 ， a3 ， a5成等比数列，得p=﹣1．（2）an=2n﹣2， ，由此利用错位相减法能求出数列{bn}的前n项和Tn ．
解法二：（1）由 ，得d=2，p=a1﹣1，q=0．由a2 ， a3 ， a5成等比数列，得p=﹣1．（2）an=2n﹣2. ，由 ，两边对x取导数得，由此能求出 ．
【考点精析】掌握数列的前n项和和等差数列的性质是解答本题的根本，需要知道数列{an}的前n项和sn与通项an的关系；在等差数列{an}中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；相隔等距离的项组成的数列是等差数列．